導(dǎo)語：如何才能寫好一篇藝術(shù)學(xué)概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公文云整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 變式 課堂練習(xí) 概括能力

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)概念教學(xué)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是理解數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，同時(shí)也是提高解題能力的關(guān)鍵。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是非常重要的一個(gè)內(nèi)容，教會(huì)學(xué)生正確地理解、判斷概念就顯得非常重要。

一、創(chuàng)設(shè)情境，注意概念的引入

要成功地上好一堂新概念課，教師的注意力應(yīng)集中到創(chuàng)設(shè)情景、設(shè)計(jì)問題上，讓學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，學(xué)會(huì)觀察、分析、揭示和概括，教師要?jiǎng)t為學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供盡可能大的自由空間，幫助學(xué)生去體會(huì)概念的形成、發(fā)展和概括的過程。此外，概念的引入也是非常重要的內(nèi)容。從平常的教學(xué)實(shí)際來看，對(duì)概念課的教學(xué)產(chǎn)生干擾的一個(gè)不可忽視的因素是心理抑制。教師方面，會(huì)因?yàn)楦拍顔握{(diào)枯燥而教得死板乏味；而學(xué)生方面，又因?yàn)椴涣私飧拍町a(chǎn)生的背景及作用，缺乏接受新概念的心理準(zhǔn)備而產(chǎn)生對(duì)新概念的心理抑制。要解決師生對(duì)概念課的心理抑制問題，可加強(qiáng)概念的引入，幫助學(xué)生弄清概念產(chǎn)生的背景及解決的方法。由于形成準(zhǔn)確概念的先決條件是使學(xué)生獲得十分豐富和符合實(shí)際的感性材料，通過對(duì)感性材料的抽象、概括，來揭示概念所反映的本質(zhì)屬性。因此在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際模型，通過對(duì)實(shí)物、模型的觀察，對(duì)圖形的大小關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的比較分析，在具有充分感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念。

二、重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力

在學(xué)生的概念學(xué)習(xí)中，要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。概括是形成和掌握概念的直接前提。學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過程就是一個(gè)概括過程，遷移的實(shí)質(zhì)就是概括。概括又是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，因?yàn)槿绻麤]有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學(xué)生掌握；沒有概括，就無法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批評(píng)性也就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性與創(chuàng)造性也就無從談起；沒有概括，就不能實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”或“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)。學(xué)生掌握概念，只接受他們的概括水平的制約，要實(shí)現(xiàn)概括，學(xué)生必須能對(duì)相應(yīng)的一類具體事例的各種屬性進(jìn)行分化，再經(jīng)過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來；在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行類化，即把概括而得到的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，這既是一個(gè)概念的運(yùn)用過程，又是一個(gè)在更高層次上的抽象概括過程；然后，還要把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已掌握的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級(jí)階段。從上所述可知，對(duì)概念的具體例證進(jìn)行分化是概括的前提，而把概念類化，使新概念納入到概念系統(tǒng)中去，又成為概念學(xué)習(xí)深化的重要步驟，因此，教師應(yīng)該把教會(huì)學(xué)生對(duì)具體例證進(jìn)行分化和類化當(dāng)成概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，使學(xué)生掌握分化和類化的技能技巧，從而逐漸學(xué)會(huì)自己分析材料、比較屬性，并概括出本質(zhì)屬性，以逐步培養(yǎng)起概括能力。另外，數(shù)學(xué)概括能力中，很重要的是發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力，即發(fā)現(xiàn)概念的具體事例中各種屬性之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)概念之間關(guān)系的能力。

三、運(yùn)用變式，尋求概念的本質(zhì)

變式是變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)屬性，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，一句話，變式是指事物的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化，讓學(xué)生在變式中思維，可以使學(xué)生更好地掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。

變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體對(duì)象本身的非本質(zhì)屬性帶來的干擾而提出來的。一旦變更具體對(duì)象，那么與具體對(duì)象緊密相聯(lián)的那些非本質(zhì)屬性就消失了，而本質(zhì)屬性就顯露出來。數(shù)學(xué)概念就是通過對(duì)變式進(jìn)行比較，舍棄非本質(zhì)屬性并抽象出本質(zhì)屬性而建立起來的。值得注意的是，變式不僅可以在概念形成過程中使用，也可以在概念的應(yīng)用中使用。因此，我們既可以變更概念的非本質(zhì)屬性，也可以變換問題的條件和結(jié)論；既可以轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，也可以配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境。總之，就是要在變化中求不變，萬變不離其宗。這里，變的是事物的物理性質(zhì)、空間表現(xiàn)形式，不變的是事物在數(shù)或形方面的本質(zhì)屬性。變化的目的是為了使學(xué)生有機(jī)會(huì)親自經(jīng)歷概念的概括過程，使學(xué)生所掌握的概念更加精確、穩(wěn)定和易于遷移，避免把非本質(zhì)屬性當(dāng)成本質(zhì)屬性。

變式的運(yùn)用要注意為教學(xué)目的服務(wù)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系性是變式的依據(jù)，即利用知識(shí)的相互聯(lián)系，可以有系統(tǒng)地獲得概念的各種變式。另外，變式的運(yùn)用要掌握好時(shí)機(jī)，只有在學(xué)生對(duì)概念有了初步理解，而這種理解又需要進(jìn)一步深化的時(shí)候運(yùn)用變式，才能收到好的效果；否則，如果在學(xué)生沒有對(duì)概念建立初步理解時(shí)就運(yùn)用變式，將會(huì)使學(xué)生不能理解變式的目的，變式的復(fù)雜性會(huì)干擾學(xué)生的概念理解思路，先入為主而導(dǎo)致理解上的混亂。

四、精心設(shè)置課堂練習(xí)，通過反復(fù)練習(xí)掌握概念

精心設(shè)計(jì)課堂練習(xí)，再次給學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)。學(xué)生對(duì)新概念的掌握不是一次能完成的，需要由“具體抽象具體抽象”的多次實(shí)踐。因此，在教學(xué)中，教師要針對(duì)概念的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)有助于學(xué)生更好地理解、運(yùn)用概念的題目，讓學(xué)生在多次的課堂、課外實(shí)踐的基礎(chǔ)上理解和掌握有關(guān)概念。

篇2

一、要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)概念的重要意義

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一些教師對(duì)概念教學(xué)缺乏科學(xué)的認(rèn)識(shí)和必要的重視，很多學(xué)生也沒有真正認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的重要性。在這種不科學(xué)的思想影響之下，很多學(xué)生在教師講授概念的時(shí)候不認(rèn)真聽講，想當(dāng)然地認(rèn)為只要課后把這些概念背下來就可以了。因此，教師要想搞好概念教學(xué)，首先就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的重要性，讓他們從思想上重視概念教學(xué)。特別是進(jìn)入高中階段以后，數(shù)學(xué)概念的數(shù)量相對(duì)于初中階段要多很多，例如僅僅是在函數(shù)這一章就有函數(shù)，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等諸多的概念，這種概念數(shù)量的突然增加對(duì)于剛進(jìn)入高中階段的學(xué)生來說是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。不僅如此，高中階段的很多概念其內(nèi)涵也更加深刻，更加難以理解，而這些概念又是以后進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)必不可少的前提條件。因此，學(xué)生首先必須要掌握好這些概念，這樣才能順利進(jìn)行接下來的學(xué)習(xí)。

二、根據(jù)實(shí)際情況采取不同的概念教學(xué)方式

很多教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)候總是采用一些簡(jiǎn)單枯燥的方式，例如簡(jiǎn)單分析一下概念中的語句，然后再讓學(xué)生通過反復(fù)閱讀記憶，把這些概念記熟，這樣概念教學(xué)的任務(wù)就算完成了。這種枯燥單調(diào)的概念教學(xué)方式不但會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生逆反心理，最后獲得的教學(xué)效果往往也不是很理想。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)候一定要解放思想，根據(jù)實(shí)際情況采取靈活的概念教學(xué)方式，這樣才能夠讓學(xué)生真正深刻地理解各種概念。

1.利用舉例法引入數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，很多數(shù)學(xué)概念在我們的生活實(shí)際中都可以找到實(shí)例。例如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)集合概念時(shí)候，如果教師僅僅從字面意思上闡述：所謂集合就是指一定范圍的、確定的、可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫做集合。通過這種闡述，學(xué)生很難對(duì)集合產(chǎn)生具體的感知。為此，我們可以在生活中找一些集合的實(shí)例，通過實(shí)例來解釋集合這一概念，例如我們的學(xué)生所在的班級(jí)就可以看成一個(gè)集合，學(xué)校中的所有班級(jí)也可以作為一個(gè)集合，班級(jí)中的男生可以作為一個(gè)集合，女生可以作為另外一個(gè)集合，等等?？傊ㄟ^這種有形的具體的生活中的實(shí)例來闡述數(shù)學(xué)概念會(huì)更有利于學(xué)生對(duì)于概念的理解和掌握。

2.利用觀察法來進(jìn)行概念教學(xué)

現(xiàn)如今，發(fā)現(xiàn)教學(xué)法作為一種新穎的教學(xué)方法在教學(xué)中的運(yùn)用越來越廣泛。發(fā)現(xiàn)教學(xué)法往往更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的的主體作用，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生通過自己的主動(dòng)學(xué)習(xí)來獲取知識(shí)。這樣，學(xué)習(xí)知識(shí)的過程就成為了一個(gè)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系的過程，會(huì)更加有利于知識(shí)的理解和掌握。而在概念教學(xué)中，我們同樣可以引入這種發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的理念，讓學(xué)生通過觀察來自己發(fā)現(xiàn)和總結(jié)概念。例如，我在進(jìn)行等比數(shù)列的概念教學(xué)時(shí)，并沒有事先把概念呈現(xiàn)給學(xué)生，而是給出一些等比數(shù)列的實(shí)例：①1，3，9，27，81；②1/2，1/4，1/8，1/16；③-1，-2，-4，-6，-8，然后讓學(xué)生認(rèn)真觀察這三組數(shù)列有什么共同的規(guī)律，通過觀察，很多學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)列中蘊(yùn)含的規(guī)律。于是，我再趁勢(shì)引入等比數(shù)列的概念。這種通過自己觀察來發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并進(jìn)而總結(jié)出概念的教學(xué)方式不但可以讓學(xué)生處于更加主動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，更重要的是學(xué)生在觀察的過程中還能夠培養(yǎng)一定的觀察能力和探索能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

3.利用舊的概念引入新的概念

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門邏輯性和系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)之間或多或少地存在各種聯(lián)系，而我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)的時(shí)候也不要忽視數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特點(diǎn)，而是要充分利用它。我們可以通過一些之前學(xué)習(xí)過的舊的數(shù)學(xué)概念來引入新的數(shù)學(xué)概念。例如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)平行向量的時(shí)候就可以利用平行線的概念引入平行向量的概念，通過復(fù)習(xí)平面角來學(xué)習(xí)空間角的概念，在方程的概念的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)不等式概念，等等。教師通過這種新舊對(duì)比的概念教學(xué)方式，不只可以讓學(xué)生更加輕松地掌握新概念，同時(shí)還能夠起到復(fù)習(xí)舊知識(shí)，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)而建立起新的知識(shí)體系的作用。

三、通過各種練習(xí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的鞏固

篇3

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過程,獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念,體驗(yàn)成功的喜悅,從而真正達(dá)到理解并融會(huì)貫通的目的,以切實(shí)提高教與學(xué)的效率。

一、生動(dòng)恰當(dāng)?shù)囊敫拍?/p>

每當(dāng)學(xué)生用一個(gè)新的概念時(shí),教師都應(yīng)讓其感到有必要學(xué)習(xí)這個(gè)概念,從而使他全身心地投入到下面的學(xué)習(xí)中去。要做到這一點(diǎn)有時(shí)并非輕而易舉,而是要費(fèi)一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。

1.以史為引。

在講授新概念時(shí),教師結(jié)合課題內(nèi)容,適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)典故或數(shù)學(xué)家的故事,往往能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情。如講“無理數(shù)”時(shí),教師可由無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)者希伯索斯捍衛(wèi)真理的英勇故事引入等。

2.以舊帶新。

在數(shù)學(xué)中有很多概念和以往學(xué)習(xí)的舊概念有密切的聯(lián)系。因此,在學(xué)習(xí)這些概念時(shí),教師可在復(fù)習(xí)舊概念的基礎(chǔ)上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時(shí),教師可先復(fù)習(xí)一元一次方程的概念,讓學(xué)生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個(gè)一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學(xué)生將其與一元一次方程進(jìn)行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學(xué)生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分?jǐn)?shù)引入,等等。

3.猜想導(dǎo)入。

“數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在數(shù)學(xué)上的單純積累,而是一個(gè)充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時(shí),教師應(yīng)讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想像,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段,以培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣,形成數(shù)學(xué)直覺,發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

4.從“需要”入手。

有的概念可以從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要來引入,如“負(fù)數(shù)”概念的教學(xué),教師可以從溫度計(jì)上的零下溫度入手,引導(dǎo)學(xué)生感知現(xiàn)實(shí)生活中存在比零更小的數(shù),但用以前學(xué)過的數(shù)無法表示出來,產(chǎn)生了思維沖突,從而有必要引入“負(fù)數(shù)”這一比零更小的數(shù)來表示這一部分?jǐn)?shù),導(dǎo)入自然,恰到好處。

5.直觀操作導(dǎo)入。

實(shí)踐出真知。手是腦的老師,學(xué)生通過動(dòng)手操作、實(shí)踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學(xué)中,教師可密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際模型,通過對(duì)事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進(jìn)而自然地引入概念。

二、自主合理地形成概念

從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學(xué)生以原有知識(shí)為基礎(chǔ),教師以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發(fā),從學(xué)生肯定經(jīng)驗(yàn)的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質(zhì)屬性。

但是,初中生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還不夠充分,知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還很貧乏。顯然,概念同化的方式對(duì)其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學(xué)中,教師應(yīng)重視概念的形成過程。此環(huán)節(jié)教師絕不能包辦代替,應(yīng)讓學(xué)生積極、主動(dòng)地參與概念的形成過程。

三、準(zhǔn)確、無誤地理解概念

1.語言表述要準(zhǔn)確。

概念形成之后,教師應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語言表述出來,以加深對(duì)概念的印象。語言作為思維的物質(zhì)外殼,教師可從學(xué)生的表述中得到反饋信息,了解、評(píng)價(jià)學(xué)生的思維結(jié)果。如概括圓的定義時(shí),有的學(xué)生會(huì)漏掉“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件;講分式的基本性質(zhì)時(shí),有的學(xué)生會(huì)了“零除外”這一條件等。教師讓學(xué)生自己把這些概念表述出來,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,并加以糾正,給學(xué)生一個(gè)準(zhǔn)確的表象,這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,又能發(fā)展他們的思維能力。

2.揭示概念的外延與內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是指概念所反映的數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性,反映的是“質(zhì)”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內(nèi)角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)概念的外延是指數(shù)學(xué)概念所反映的對(duì)象的數(shù)量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個(gè)概念的外延。充分揭示概念的內(nèi)涵和外延有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解。

3.加深對(duì)表示數(shù)學(xué)概念的符號(hào)理解。

數(shù)學(xué)概念本身就較為抽象,加上符號(hào)表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學(xué)生真正理解符號(hào)的含義。如有學(xué)生會(huì)將sin(-θ)中的記號(hào)sin與(-θ)認(rèn)為是相乘而錯(cuò)誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號(hào)是提出來的,所以教師要一開始就幫助學(xué)生正確地理解這些符號(hào)的意義,盡量克服學(xué)生發(fā)生類似的錯(cuò)誤。

四、在靈活運(yùn)用中鞏固概念

鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時(shí)鞏固,便會(huì)被遺忘。除了正確復(fù)述之外,教師還要引導(dǎo)學(xué)生在靈活運(yùn)用中發(fā)展鞏固相應(yīng)的概念。

1.嘗試錯(cuò)誤,鞏固概念。

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導(dǎo)致解題的失誤。因此,學(xué)生鞏固概念時(shí)可以允許適當(dāng)“示錯(cuò)”,以加深印象,從而真正認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)。

2.利用變式,鞏固概念。

所謂變式,就是教師使提供給學(xué)生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式,使非本質(zhì)屬性時(shí)有時(shí)無,而本質(zhì)屬性保持恒在。在幾何教學(xué)中教師常常采用“標(biāo)準(zhǔn)圖形”,學(xué)生就有可能把非本質(zhì)的屬性如圖形的位置、大小等當(dāng)作本質(zhì)屬性,而造成錯(cuò)誤。恰當(dāng)運(yùn)用變式,能使學(xué)生的思維不受消極定勢(shì)的束縛,實(shí)現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換。

五、在概念系統(tǒng)中深化概念

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的科學(xué)。布魯納說:“獲得的知識(shí),如果沒有圓滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起,那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命。”因此,在每一教學(xué)單元結(jié)束后,教師要及時(shí)進(jìn)行概念總結(jié),在總結(jié)時(shí)要特別重視同類概念的區(qū)別和聯(lián)系,從不同角度出發(fā),制作較合理的概念系統(tǒng)歸類表。這樣不但可使學(xué)生的知識(shí)、概念網(wǎng)絡(luò)化,而且可培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

總之,概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),教師在平時(shí)的教學(xué)中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學(xué)的規(guī)律,不斷探索、不斷創(chuàng)新,這樣一定能收到意想不到的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn):

[1]全日制九年義務(wù)教育中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn)稿).

篇4

關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計(jì)；直覺思維

1思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋

思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)。試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多。然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計(jì)算...另一種是這樣思考的：設(shè)想每個(gè)杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補(bǔ)。前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解]。

顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺性的思辨求解，屬于思辨數(shù)學(xué)。這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別。我們認(rèn)為，思辨數(shù)學(xué)就是動(dòng)態(tài)地辯證地把握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡(jiǎn)稱推據(jù)），憑借對(duì)概念的直覺和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策。換言之，在直覺領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運(yùn)動(dòng)中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

德國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物?！盵4]克萊因這一論斷，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對(duì)于貫徹概率統(tǒng)計(jì)思想方法為主線的教學(xué)大有裨益。

2概率統(tǒng)計(jì)課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析

從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的。算法是程序性的，概率統(tǒng)計(jì)的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會(huì)遇到思辨求解問題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義。特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)推斷也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊。現(xiàn)分述如下：

2.1思辨求解問題

若對(duì)某些概率問題的題設(shè)條件進(jìn)行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對(duì)這些概念的直覺和思辨，就能引發(fā)解題的思AXB路和方法。具體說來，吃透問題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運(yùn)用發(fā)散思維或逆向思維，進(jìn)行類比聯(lián)想或換位思考推理，進(jìn)而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機(jī)變量，就會(huì)建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象中蘊(yùn)涵著的事件之間或隨機(jī)變量之間的某種對(duì)稱性、對(duì)等性或等可能性的關(guān)系。那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計(jì)規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點(diǎn)，即推據(jù)；思維一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對(duì)稱美的直覺啟發(fā)，就會(huì)迅速地做出判斷，尋到簡(jiǎn)便的解法，或直接給出答案。

2.2.1最大似然法（以離散型隨機(jī)變量為例）

2.2.2最小二乘估計(jì)

回歸分析的基本思想是首先根據(jù)樣本組的分布特征以及對(duì)問題的思辨認(rèn)識(shí)而先驗(yàn)地選定一個(gè)模型類型，然后求出（估計(jì)出）模型中相應(yīng)參數(shù)。至于對(duì)參數(shù)的估計(jì)，一般采用最大似然估計(jì)法，具體到回歸分析上叫做最小二乘法。所謂最小二乘法系利用拉格朗日條件極值原理，對(duì)所選模型在所給樣本下，保證誤差最小時(shí)，求得參數(shù)估計(jì)值[6]。說到底它也是一種思辨推斷模式。

2.2.3假設(shè)檢驗(yàn)

先根據(jù)統(tǒng)計(jì)目的對(duì)總體提出一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)0H（也叫原假設(shè)），然后再由一次抽樣的結(jié)果來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可信，從而做出決策：拒絕還是接受這個(gè)假設(shè)。一方面，我們先假定0H是正確的，在此假定下，某事件A出現(xiàn)的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果事件A出現(xiàn)了，就是說在一次試驗(yàn)中就居然發(fā)生了小概率事件，那么根據(jù)直覺：“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生的?！保ㄐ「怕适录?，即推據(jù)）我們不能不懷疑作為小概率事件的前提假設(shè)0H的正確性，因而做出拒絕0H的決策；如果進(jìn)行一次試驗(yàn)，小概率事件沒有出現(xiàn)，則試驗(yàn)結(jié)果與假設(shè)相符，沒有理由拒絕0H，因而只好接受0H。進(jìn)一步歸結(jié)出假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟（略），即是算法程序，使概念的直觀具體性有了一個(gè)邏輯思維的圖式，如果沒有這些邏輯模式，推理將變得沒有質(zhì)量。從根本上看，假設(shè)檢驗(yàn)法是以小概率事件原理為推據(jù)的思辨推斷模式。概言之，最大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)本質(zhì)上都是思辨的產(chǎn)物；從思維方法上講，它們是思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)有機(jī)的統(tǒng)一體；“思辨”當(dāng)頭，“算法”自然就在其中了。

2.3概率統(tǒng)計(jì)中的思辨數(shù)學(xué)之特征分析

2.3.1思辨求解問題與思辨推斷的異同

思辨求解問題的推據(jù)具有確定性和真理性。。然而，思辨推斷的推據(jù)則具有“或然性”，比如最大似然原理中的用詞：“應(yīng)該是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用詞“一般認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生”，但并非“絕對(duì)不會(huì)發(fā)生”，可見思辨推斷的結(jié)論則是概率邏輯意義下的必然。比如假設(shè)檢驗(yàn)就是概率性質(zhì)的反證法。故思辨推斷理屬合情推理。

思辨求解與思辨推斷的共同之處，都是主體基于對(duì)概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的透徹了解，基于對(duì)整個(gè)問題的理解把握以及已有的知識(shí)背景，使主體能跨越邏輯的思考而進(jìn)入直念（即數(shù)學(xué)直觀，形象觀念）[3]，想象和直覺判斷，以推據(jù)為準(zhǔn)繩，迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

2.3.2思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的比較

由于思辨數(shù)學(xué)一詞是相對(duì)于與算法數(shù)學(xué)的概念提出的，下面我們就其兩者進(jìn)行對(duì)比分析：

算法數(shù)學(xué)有具體化、程序化和機(jī)械化特點(diǎn)，又有抽象性、概括性和精確性；思辨數(shù)學(xué)有抽象化、模式化和直念化特點(diǎn)，又帶有假定性、哲理性和啟示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性質(zhì)等構(gòu)成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理論基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)；思辨求解和思辨推斷有推據(jù)，比如對(duì)稱性、對(duì)等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等構(gòu)成概率思辨求解和思辨推斷的推據(jù)。推據(jù)是思辨的理論基礎(chǔ)，思辨求解和思辨推斷是推據(jù)的實(shí)際表達(dá)。

與算法相比較，算法求解依據(jù)邏輯思維、邏輯推理，思維是縱向的、條理化的；思辨數(shù)學(xué)則依據(jù)認(rèn)識(shí)之直覺，思維是跳躍性的、橫向的和發(fā)散的。思辨求解的推理是非邏輯的；思辨推斷是歸納性質(zhì)的合情推理。

3提出思辨數(shù)學(xué)概念對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)具有的要義

關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的這種區(qū)分，在教學(xué)法上具有重要意義。傳統(tǒng)的概率教學(xué)著眼于概率算法求解，重視運(yùn)算規(guī)則和方法技巧，注重邏輯思維能力培養(yǎng)，忽視或根本不談概率思辨求解，因?yàn)樵S多概率教材的例題與習(xí)題都鮮見思辨求解類的素材；輕視概率統(tǒng)計(jì)課程的基本概念教學(xué)，因而造成了概率思想、統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)諸方面知識(shí)匱乏和直覺能力的缺失。比如統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，統(tǒng)計(jì)推斷是對(duì)統(tǒng)計(jì)總體的未知數(shù)量特征做出概率形式表達(dá)的推理，鑒于思維上推與證的不同而分別提出了參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，由此構(gòu)成統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的兩面。參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)所作的“猜想”，而前提是樣本與總體的同分布（即樣本與總體的同質(zhì)性）的假定；假設(shè)檢驗(yàn)即對(duì)總體特征做出的一種假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息對(duì)這一假設(shè)的支持程度做出描述。前提同樣都是樣本與總體的同分布的假定。從哲學(xué)層面講，它們探討的都是共性與個(gè)性的辯證關(guān)系。

從戰(zhàn)略上看，由樣本推斷總體具有歸納性質(zhì)，從戰(zhàn)術(shù)上看，最大似然估計(jì)法與假設(shè)檢驗(yàn)的解題程式中的樣本值nx,x,,x12􀀢又非具體的數(shù)值，因而具有演繹性質(zhì)，所以最大似然估計(jì)法和假設(shè)檢驗(yàn)是歸納與演繹的辯證統(tǒng)一。對(duì)于統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容的教法，目前多數(shù)教學(xué)已落入算法化、程式化的俗套，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)作為一套處理問題的規(guī)則或算法來教；2003年出版的《Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件》一書，把參數(shù)的最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)按算法編程由計(jì)算機(jī)來做[7]，毫無思想。誠(chéng)然，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該拒絕計(jì)算機(jī)的滲透，特別是統(tǒng)計(jì)推斷問題常會(huì)涉及一些煩瑣的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，借助于計(jì)算機(jī)可節(jié)省大量的時(shí)間和精力。但是，數(shù)學(xué)方法的內(nèi)核是數(shù)學(xué)思想，由于意識(shí)不到統(tǒng)計(jì)推斷是思辨數(shù)學(xué)體系，所以容易忽視產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)推斷方法所依賴的統(tǒng)計(jì)推斷思想、策略及其思維活動(dòng)過程的教學(xué)，以致學(xué)生不能目睹數(shù)學(xué)過程的形象而生動(dòng)的性質(zhì)，體悟不到統(tǒng)計(jì)推斷方法中蘊(yùn)涵的概率思想，更達(dá)不到思維訓(xùn)練之效。誠(chéng)然，給學(xué)生一個(gè)可仿效的范例，就足以教會(huì)一個(gè)算法，盡管這樣的教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)了套用統(tǒng)計(jì)推斷的解題步驟，可能會(huì)做對(duì)若干道數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題，但是對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的思想實(shí)質(zhì)和認(rèn)識(shí)機(jī)制理解不深。比如，有學(xué)生在用最大似然估計(jì)法解題時(shí)，先把具體的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)帶入似然函數(shù)的表達(dá)式，再作取對(duì)數(shù)、求導(dǎo)、求極值點(diǎn)的運(yùn)算；有的學(xué)生在假設(shè)檢驗(yàn)解題中，在寫到最后一步：“拒絕H0”或“接受H0”時(shí)就擱筆了，把“即認(rèn)為...”這句關(guān)鍵的陳述語省略了不寫。不難想到，他們對(duì)樣本的二重性以及最大似然法所使用的辯證邏輯思維領(lǐng)悟不透徹；對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷所表達(dá)的非決定論的因果關(guān)系規(guī)律認(rèn)識(shí)不到位。一句話，對(duì)最大似然估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)方法的本質(zhì)思想，缺少深層的思考。傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果只會(huì)給學(xué)生留下這樣的印象：數(shù)理統(tǒng)計(jì)是裝著一筐子的“算法”。這種只強(qiáng)調(diào)算法與規(guī)則的數(shù)學(xué)課程，正如只強(qiáng)調(diào)語法和拼寫的寫作課程一樣，都是一種本末倒置。

任何一門數(shù)學(xué)學(xué)科都是由概念和技巧支撐的；若能區(qū)別概率統(tǒng)計(jì)教材中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)，區(qū)分或認(rèn)識(shí)思辨數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，這就意味著預(yù)先設(shè)定將它們作為思維訓(xùn)練來教，其意義在于強(qiáng)調(diào)思辨因素，強(qiáng)調(diào)概率統(tǒng)計(jì)思想方法形成的思維活動(dòng)的過程，自然也是強(qiáng)調(diào)了以概念為本的課程教學(xué)模式。

3.1凸顯以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想以深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)

毫無疑問，概率論是統(tǒng)計(jì)的運(yùn)載工具，統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)方法的靈魂。按照思辨數(shù)學(xué)模式講授統(tǒng)計(jì)推斷，能夠更好地揭示和表達(dá)統(tǒng)計(jì)思想，深化統(tǒng)計(jì)認(rèn)識(shí)。因?yàn)樨瀼厝握摷矗骸霸谀撤N假定（假設(shè)）...之下，一方面...另一方面...，依推據(jù)則有...”的思辨推斷模式，勢(shì)必強(qiáng)調(diào)深刻理解概念和推據(jù)，充分展示換位思考中的思辨原理與辯證思維方法，這就凸顯了以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷思想。比如假設(shè)檢驗(yàn)，如果統(tǒng)計(jì)假設(shè)被理解為構(gòu)成概率計(jì)算的基礎(chǔ)的話，那么，看來極不可能的某個(gè)事件發(fā)生了，那就有悖于常理，于是統(tǒng)計(jì)假設(shè)認(rèn)為是小概率的事件的發(fā)生，將是一個(gè)反對(duì)該假設(shè)的證據(jù)，并且這種概率越小，其證據(jù)越顯得強(qiáng)有力。又由于在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的邏輯中，前提與結(jié)論之間的邏輯蘊(yùn)涵不再是必然的，而是一種概率蘊(yùn)涵。換句話說，概率解釋中的解釋前提是假說，所以得到的邏輯必然的推論是可能的概率解釋。而在概率解釋中，對(duì)個(gè)別事實(shí)解釋的概率性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律在每一個(gè)別情況下無法實(shí)現(xiàn)這一規(guī)律聯(lián)系著，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律是大數(shù)定律，它僅在大量觀察或多次試驗(yàn)中才能出現(xiàn)。因此在統(tǒng)計(jì)規(guī)律上所作的關(guān)于個(gè)別事實(shí)的結(jié)論，只能解釋這一事實(shí)的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“納偽”和“拒絕”中的“棄真”這兩類錯(cuò)誤不可避免的發(fā)生充分說明了這一點(diǎn)。

3.2強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思辨對(duì)培育直覺能力具有獨(dú)特功效

數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思辨性。弗賴登塔爾指出：“算法是好的，數(shù)學(xué)中的常規(guī)也是不可避免的?！盵1]誠(chéng)然，對(duì)數(shù)學(xué)來說算法具有極大的重要性，代數(shù)、微積分、概率中都有算法。當(dāng)前教學(xué)的強(qiáng)烈趨勢(shì)就是盛行算法化[1]。將一個(gè)領(lǐng)域算法化是更容易超越該領(lǐng)域的一種方式[1]。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同于古老數(shù)學(xué)，在于它強(qiáng)調(diào)的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起現(xiàn)代化過程發(fā)生的事物——集合論、抽象代數(shù)、分析學(xué)、拓?fù)洹际撬急娴漠a(chǎn)物。它們是沖破算法的僵化的外殼噴射而出的[1]。同時(shí)弗賴登塔爾還指出：算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)的關(guān)系是辯證的，不能把它們看作是新與舊、高與低的對(duì)立。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的層面看，算法數(shù)學(xué)與思辨數(shù)學(xué)好比“算術(shù)和幾何正是作為互相的直接對(duì)立面在智力上發(fā)展起來的，但這并不表明因?yàn)橄矚g其中一個(gè)就應(yīng)該把另一個(gè)貶低。相反，教學(xué)應(yīng)該將這種發(fā)展繼續(xù)下去”[8]，教學(xué)應(yīng)該像重視算法數(shù)學(xué)一樣重視思辨數(shù)學(xué)，但問題在于目前的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，人們有些重算法而輕思辨的傾向。概率統(tǒng)計(jì)的思辨求解和思辨推斷解決問題的重要策略和特點(diǎn)是：對(duì)具體問題作具體分析，以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為背景，在直覺領(lǐng)引下發(fā)掘問題中蘊(yùn)含著的思辨因素，尋找到推據(jù)或生成推據(jù)，以推據(jù)為支點(diǎn)，憑借直覺展開思辨推算或推斷。其思維方式是直覺的。從心理學(xué)視角看，思辨數(shù)學(xué)是直覺思辨的產(chǎn)物，它是思維對(duì)那種隱藏于數(shù)學(xué)對(duì)象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性的感受，正是這種感受把知識(shí)空間投影和凈化成那幅心智圖像。顯意識(shí)和潛意識(shí)溝通形成頓悟，進(jìn)而達(dá)到直覺思維的目標(biāo)。

因此，強(qiáng)調(diào)思辨數(shù)學(xué)，必然注重培育直覺能力。思辨求解不僅能增加和豐富學(xué)生概率解題的方法策略，而且對(duì)其直覺思維乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)大有裨益?？巳R因說過：“在某種意義上講，數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要?dú)w功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴(yán)謹(jǐn)證明著稱的人?！?/p>

3.3透過思辨求解法感悟數(shù)學(xué)方法的奇異美

思辨求解法的產(chǎn)生離不開直覺，數(shù)學(xué)直覺本質(zhì)上就是“美的意識(shí)或美感”。美的意識(shí)力或鑒賞能力越強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)和辨認(rèn)隱蔽的和諧關(guān)系的直覺能力也就越強(qiáng)。數(shù)學(xué)審美意識(shí)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺、爆發(fā)數(shù)學(xué)靈感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性強(qiáng)，其方法直觀，運(yùn)算簡(jiǎn)捷，甚至用不著計(jì)算就能直接獲得答案。從思辨求解法產(chǎn)生的心理機(jī)制來看，其思維空間是動(dòng)態(tài)的；每一個(gè)具體的思辨性解法，無不聯(lián)系著主體解題的思維運(yùn)作：數(shù)形結(jié)合，動(dòng)靜聯(lián)想，等價(jià)語意轉(zhuǎn)換，整體性把握思考，以及受到數(shù)學(xué)美的啟迪等。它把數(shù)學(xué)表達(dá)式的對(duì)稱美、數(shù)學(xué)關(guān)系的和諧美、數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)思想的思辨美發(fā)揮的淋漓盡致。奇妙的解法閃爍著智慧之光，常給人以精神上的愉悅和滿足。

“奇異性與思辨性是密切相關(guān)的，奇異性的結(jié)果會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，而思辨能引起人們的思索，調(diào)動(dòng)人們的想象，幫助人們對(duì)未知事物作深入地理解、把握和預(yù)見，促使人們?nèi)プ非髷?shù)學(xué)中內(nèi)在旋律?！奔醋非髷?shù)學(xué)美的旋律。

［參考文獻(xiàn)］

[1]弗賴登塔爾。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]。陳昌平，唐瑞芬譯。上海：上海教育出版社，1995。

[2]KennethHR。初等數(shù)論及其應(yīng)用[M]。夏鴻剛譯。北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009。

[3]張奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M]。南京：江蘇教育出版社，1998。

[4]劉培杰。數(shù)學(xué)奧林匹克與數(shù)學(xué)文化[M]。哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008。

[5]藺云。用隨機(jī)方法證明一類組合恒等式[J]。高等數(shù)學(xué)研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]陽明盛，林建華。Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件[M]。大連：大連理工大學(xué)出版社，2003。

[8]弗賴登塔爾。數(shù)學(xué)教育再探：在中國(guó)的講學(xué)[M]。劉意竹，楊剛譯。上海：上海教育出版社，1999。

篇5

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；概念引入；實(shí)踐；鞏固

對(duì)數(shù)學(xué)概念，即使是那些原始概念，都不能望文生義。在教學(xué)中，既要把握它的內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎(chǔ)；又要了解它的外延，這樣才有利于對(duì)概念的理解和擴(kuò)展；同時(shí)，對(duì)于概念中的各項(xiàng)規(guī)定、各種條件，都有要逐一認(rèn)識(shí)，綜合理解，從而印象更深，掌握更牢。

一、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是最基本的內(nèi)容。所謂數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。就是指那些數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語。（在小學(xué)數(shù)學(xué)中反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的數(shù)字、圖形、符號(hào)、名詞術(shù)語和定義、法則等都是數(shù)學(xué)概念。）

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)關(guān)鍵是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的組成部分。

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再通過具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號(hào)表達(dá)出來。實(shí)際上應(yīng)包含兩層含義：其一，數(shù)學(xué)概念代表的是一類對(duì)象，而不是個(gè)別的事物。例如“三角形”可用符號(hào)“”來表示。這時(shí)凡是像“”這樣具有三個(gè)角和三條邊的圖形，則不論大小，統(tǒng)稱為三角形，也就是說三角形的概念，就是指所有的三角形：等邊的、等腰的、不等邊的、直角的、銳角的、鈍角……；其二，數(shù)學(xué)概念反映的是一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，即該類對(duì)象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是那些表面的非本質(zhì)的屬性。

二、形成概念的教學(xué)

形成概念的教學(xué)是整個(gè)概念教學(xué)過程中至關(guān)重要的一步。概念的形成是通過對(duì)具體事物的感知、辨別而抽象、概括出概念的過程，因此，學(xué)生形成概念的關(guān)鍵就是發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)屬性或規(guī)律。

1.形成概念的方法

（1）比較發(fā)現(xiàn)法。比較發(fā)現(xiàn)是指通過比較所學(xué)概念弄清它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而總結(jié)出本質(zhì)屬性或規(guī)律。這種方法是針對(duì)事物之間的異同點(diǎn)進(jìn)行探索，能提供對(duì)事物較為全面的認(rèn)識(shí)，是一種重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)方法。如教學(xué)“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”時(shí)，可以先給出一些自然數(shù)，讓學(xué)生分別找出這些數(shù)的所有約數(shù)并比較每個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)約數(shù)的個(gè)數(shù)把這些數(shù)進(jìn)行分類：a.只有一個(gè)約數(shù)的；b.只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的；c.除了1和它本身，還有別的約數(shù)的，即約數(shù)有三個(gè)或三個(gè)以上的。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三類數(shù)的不同特點(diǎn)，概括出“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”的定義。

（2）類比的發(fā)現(xiàn)法。類比發(fā)現(xiàn)是指根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，猜測(cè)推斷出它們的其他屬性也可能相同或相似，繼而得到新的結(jié)論。類比發(fā)現(xiàn)可以使學(xué)生明確知識(shí)間的聯(lián)系，建立概念系統(tǒng)。

（3）歸類發(fā)現(xiàn)法。歸類發(fā)現(xiàn)是指引導(dǎo)學(xué)生對(duì)大量的個(gè)別材料進(jìn)行觀察、分析、比較、總結(jié)，從特殊中歸納出一般的帶有普遍性的規(guī)律或結(jié)論。歸納發(fā)現(xiàn)雖然是一種不完全歸納，但它能從特殊事例中發(fā)現(xiàn)該類事物的一般規(guī)律，它體現(xiàn)了“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜”“由具體到抽象”的原則。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)具體實(shí)例的直接觀察，進(jìn)行歸納推理，得出結(jié)論；也可以讓學(xué)生對(duì)實(shí)際例子進(jìn)行分析，歸納出結(jié)論。例如“商不變的性質(zhì)”“數(shù)的整除特征”“三角形三內(nèi)角和等于180度”等一些基本概念公式方法中，都有一個(gè)不完全歸納的過程。

2.形成概念的教學(xué)中應(yīng)該注意的問題

（1）要適當(dāng)運(yùn)用對(duì)比。對(duì)于容易混淆的新舊概念，要通過分析、對(duì)比找出它們的異同點(diǎn)，既要找到它們的內(nèi)在聯(lián)系，又要找到它們的根本區(qū)別。

（2）要及時(shí)做出言語概括。在形成概念的教學(xué)過程中，需要把所學(xué)概念準(zhǔn)確、精煉、及時(shí)地概括出來，使其條理化，便于學(xué)生記憶。在進(jìn)行言語概括時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概括。進(jìn)行言語概括還要注意適時(shí)，要根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)生的認(rèn)知水平，在學(xué)生豐富了感性認(rèn)識(shí)后，水到渠成地揭示概念。概念如果概括過早，學(xué)生就會(huì)對(duì)概念死記硬背，使概念的掌握流于形式；過晚就起不到組織、整理概念的作用，達(dá)不到傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的目的。

3.使用準(zhǔn)確的語言幫助學(xué)生確切地掌握概念

在概念的講解中必須注意語言的準(zhǔn)確和精煉。否則就會(huì)影響學(xué)生形成準(zhǔn)確的概念，甚至給學(xué)生留下錯(cuò)誤的印象或引起誤解。例如一年級(jí)講“沒有”時(shí)，用“0”表示，而不能講“0”就是沒有；四年級(jí)講“自然數(shù)和零都是整數(shù)”，而不能講“整數(shù)就是零和自然數(shù)”，教師教學(xué)語言要嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確。要求學(xué)生回答也要準(zhǔn)確、完整，要用數(shù)學(xué)語言來表述。

三、教W概念的鞏固

數(shù)學(xué)概念的鞏固過程，就是識(shí)記概念與保持概念的過程，也就是加深理解與靈活運(yùn)用的過程。要鞏固概念，最主要的方法就是對(duì)概念進(jìn)行深透理解。只有深透的理解才能記得牢、用得活。數(shù)學(xué)概念的鞏固可在應(yīng)用中鞏固，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算和解決實(shí)際問題時(shí)，需用大量的數(shù)學(xué)概念。在實(shí)際應(yīng)用中，可以鞏固所學(xué)概念，加深對(duì)概念的理解。一個(gè)新概念講完之后，要精心給學(xué)生設(shè)計(jì)練習(xí)，鞏固概念。

四、加強(qiáng)訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)以致用

篇6

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)與小學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最基本的組成因素。在教學(xué)中，我們立足于現(xiàn)實(shí)生活的具體現(xiàn)象或事物，以學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，誘發(fā)學(xué)生敞開思維的“門扉”，使其積極主動(dòng)地參與到概念的形成過程中，感知和認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵和外延，從而深刻地理解、掌握概念。下面談?wù)勎业囊恍┳龇ā?/p>

一、在操作中學(xué)習(xí)概念

著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“思維是從動(dòng)作開始的，切斷了動(dòng)作和思維之間的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展?！笨梢妱?dòng)作在小學(xué)生的思維活動(dòng)中起著舉足輕重的作用。概念是最基本的思維形式，被稱為思維的細(xì)胞，因此，讓學(xué)生在操作中學(xué)習(xí)概念是符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)的。遵循兒童的這一思維特征，我在教學(xué)一些“起始概念”，以及易混、似是而非的概念時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生的操作活動(dòng)。如：教學(xué)“平行與垂直”時(shí)，我讓學(xué)生進(jìn)行如下操作。

1.折一折

讓學(xué)生拿出課前已準(zhǔn)備好的兩張紙。

（1）把一張紙折2次，使折痕互相平行；

（2）把一張紙折2次，使折痕互相垂直。

2.畫一畫

讓學(xué)生拿出三角板和筆，在折好的紙上用三角板沿著折痕把四條線畫出來。

3.量一量

（1）用三角板量一量所畫的兩條平行線之間的寬度，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）用三角板的兩條直角邊分別靠在兩條互相垂直的直線上，頂點(diǎn)靠在交點(diǎn)上，你發(fā)現(xiàn)了什么？

4.說一說

通過剛才的觀察和操作，請(qǐng)同學(xué)們說一說：

（1）怎樣的兩條線是互相平行的直線？

（2）怎樣的兩條線是互相垂直的直線？

在學(xué)生“折一折、畫一畫、量一量、說一說”四位一體下，將“平行與垂直”的概念一氣呵成，相信學(xué)生一定能夠“形成概念”。

二、在實(shí)際運(yùn)用中加深對(duì)概念的理解

要使學(xué)生真正理解概念，有效途徑之一就是強(qiáng)化概念的運(yùn)用。因此，每教完一個(gè)新的概念，我都注意從不同的角度、不同的方面安排學(xué)生運(yùn)用概念解決問題的練習(xí)。

1.“變式”練習(xí)

“變式”是指從不同角度、方面和方式變換事物呈現(xiàn)的形式，以便揭示其本質(zhì)屬性。如，在學(xué)習(xí)了三角形的“高”后，我讓學(xué)生依據(jù)高的定義畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的高。這三種不同三角形的“高”有的在三角形內(nèi)，有的卻在三角形外，有的就是三角形的兩條邊。盡管高的位置不同，但每條高都是從角的頂點(diǎn)向?qū)吽鞔咕€的長(zhǎng)。學(xué)生在反復(fù)作高的過程中，明白了高的真正含義，提高了自己的作圖技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

2.加強(qiáng)易混概念間的對(duì)比練習(xí)

如果說變式是從材料方面促進(jìn)理解的話，對(duì)比則是從方法上促進(jìn)理解。根據(jù)概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，特別是針對(duì)學(xué)生對(duì)一些易混淆的概念所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，我加強(qiáng)了對(duì)比練習(xí)的訓(xùn)練。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)大小的比較之后，知道30>8，407>47，懂得兩個(gè)自然數(shù)相比，數(shù)位越多，這個(gè)數(shù)就越大。學(xué)生頭腦中形成的這個(gè)概念對(duì)以后學(xué)習(xí)小數(shù)大小比較產(chǎn)生了一定的副作用。如在比較兩個(gè)小數(shù)大小時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為0.407>0.47。為了防止錯(cuò)誤的產(chǎn)生，我在教完小數(shù)大小的比較之后，設(shè)計(jì)了如下一組題，供學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。

通過以上題組的練習(xí)，學(xué)生明白了比較兩個(gè)小數(shù)大小與比較兩個(gè)整數(shù)大小的相同之處和不同之處，從而正確掌握了比較任意兩個(gè)數(shù)的大小的方法。

3.利用概念進(jìn)行說理的練習(xí)

概念構(gòu)成判斷，判斷又構(gòu)成推理。判斷、推理的正確與否與學(xué)生是否掌握了概念的本質(zhì)屬性有關(guān)。為了使學(xué)生真正掌握每個(gè)概念的本質(zhì)屬性，我加強(qiáng)了讓學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行說理的練習(xí)。如，在引入方程概念之后，讓學(xué)生判斷下面哪些是方程，哪些不是方程？并說明理由。

通過讓學(xué)生回答，特別是說明理由，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用概念做簡(jiǎn)單判斷的能力，而每作一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就在腦海里再現(xiàn)一次。這樣多次的說理練習(xí)，使學(xué)生牢牢掌握了概念的內(nèi)涵，為其進(jìn)行判斷和推理鋪好了基石。

三、不斷把新的概念納入原有的概念系統(tǒng)中

為了使所學(xué)過的概念不是單個(gè)的、孤立存在的，根據(jù)概念之間的聯(lián)系，每學(xué)完一個(gè)新概念，我都注意把新概念納入學(xué)生原有的概念系統(tǒng)中，這樣學(xué)生就能成塊地掌握所學(xué)過的概念，便于貯存、檢索和利用。例如，當(dāng)學(xué)完了梯形的概念以后，我引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)過的四邊形進(jìn)行歸類，系統(tǒng)整理，使學(xué)過的有關(guān)四邊形形成一個(gè)四邊形的概念系統(tǒng)，如下圖：

這樣，學(xué)生就容易記住以上圖形的特征，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，對(duì)于形成良好的空間觀念是十分有益的。

總之，概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，同時(shí)又是培養(yǎng)小學(xué)生基本數(shù)學(xué)能力的前提。數(shù)學(xué)概念往往是以簡(jiǎn)練、概括的語句表述的。如果不設(shè)法使這種較抽象的表述，與一定的生動(dòng)、具體的“模型”建立聯(lián)系，小學(xué)生就難以真正理解它。因此上好概念課尤為重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉品一.小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新學(xué)習(xí)探究.山東教育出版社，2000.

篇7

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念 教學(xué) 數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本要素。雖然每一個(gè)概念都是從實(shí)踐中得到,但在數(shù)學(xué)體系中,概念是法則、性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用的根本。而小學(xué)數(shù)學(xué)的概念多是淡化的描述,是不準(zhǔn)確的、不嚴(yán)密的。這也許使教師在開展概念教學(xué)時(shí),沒有足夠重視概念的教學(xué),只抓計(jì)算、實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)。要使小學(xué)生掌握所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和計(jì)算技能,并且能夠?qū)嶋H應(yīng)用,首先要使得學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念。因此,概念的教學(xué)應(yīng)該是重中之重。

1.教師要充分分析各種概念

小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念,包括數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計(jì)量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要內(nèi)容,它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念,才能理解運(yùn)算概念,而運(yùn)算概念的掌握,又能促進(jìn)數(shù)的整除性概念的形成。

因此,教師在備課時(shí),要采取多種方式表現(xiàn)各種概念的不同,不要一味地使用一個(gè)方法教授各種概念。

2.教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的抽象的感悟

教授數(shù)學(xué)概念時(shí)應(yīng)考慮學(xué)生的接受能力。小學(xué)生的思維特點(diǎn)是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。一般地說,數(shù)學(xué)概念具有不同程度的抽象水平。在確定教學(xué)某一概念的必要性的前提下還應(yīng)考慮其抽象水平是否適合學(xué)生的思維水平。為此,必須根據(jù)不同的情況采取不同的措施進(jìn)行教學(xué)。這是教學(xué)中時(shí)刻要注意的地方。

很多的時(shí)候,學(xué)生對(duì)某一概念的理解常常顯示出不同的水平,盡管他們都參加同樣的活動(dòng)如操作、比較、抽象和概括等。有些學(xué)生甚至可能完全沒有理解概念的本質(zhì)特征。這就出現(xiàn)了把握數(shù)學(xué)知識(shí)程度不同的學(xué)生,學(xué)得好的學(xué)生,對(duì)數(shù)學(xué)概念有著抽象的理解。學(xué)得不好的學(xué)生,沒能對(duì)數(shù)學(xué)概念作出抽象的理解。這就要求教師在具體化、形象化概念的同時(shí),時(shí)刻注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的抽象的理解。讓學(xué)得好的學(xué)生,更好發(fā)揮自身的潛力;學(xué)得不好的學(xué)生,在逐步理解概念的本質(zhì)下,掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。這就是,對(duì)數(shù)學(xué)概念有著抽象理解的學(xué)生,更具持久的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3.教師應(yīng)在練習(xí)中注意學(xué)生對(duì)概念的理解

在學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)概念之后,教師往往會(huì)進(jìn)一步設(shè)計(jì)各種不同形式的概念練習(xí)題,讓學(xué)生綜合運(yùn)用、靈活思考、達(dá)到鞏固概念的目的,這也是培養(yǎng)檢查學(xué)生判斷能力的一種良好的練習(xí)形式。這種題目靈活、靈巧,能考察多方面的數(shù)學(xué)知識(shí),是近些年來鞏固數(shù)學(xué)概念的一種很好的練習(xí)內(nèi)容。

練習(xí)概念性的習(xí)題,目的在于讓學(xué)生綜合運(yùn)用、區(qū)分比較,深化理解概念。所安排的練習(xí)題,有一定梯度和層次,按照概念的序,學(xué)生認(rèn)識(shí)的序去考慮習(xí)題的序。但在一般的練習(xí)中,教師還應(yīng)該時(shí)刻注意分析習(xí)題中所涉及到的概念。例如在學(xué)習(xí)圓的面積后,一位教師就設(shè)計(jì)了這樣的問題:“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式,誰能想辦法算一算,學(xué)校操場(chǎng)上荔枝樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了,有的說,算圓面積一定要先知道半徑,只有把樹砍下來才能量出半徑;有的不贊成這樣做,認(rèn)為樹一砍下來就會(huì)死掉。這時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)說:“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下?！睂W(xué)生們渴望得到正確的答案,通過積極思考和爭(zhēng)論,終于找到了好辦法,即先量出樹干的周長(zhǎng),再算出半徑,然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場(chǎng)上實(shí)際測(cè)量了樹干的周長(zhǎng),算出了橫截面面積。我們可以看到,解決問題的關(guān)鍵是兩個(gè)概念,一個(gè)是圓周長(zhǎng)的概念,一個(gè)是圓面積的概念。

要想提高教學(xué)質(zhì)量,教師用心講好概念是非常重要的,既是落實(shí)雙基的前提,又是使學(xué)生發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的關(guān)鍵。但這也僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)起步,更重要的是在學(xué)生形成概念之后,要善于為學(xué)生創(chuàng)造條件,使學(xué)生經(jīng)常地運(yùn)用概念,才能有更大的飛躍。只有學(xué)生會(huì)運(yùn)用所掌握的概念,才能更深刻地理解概念,從而更好地掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)。只有這樣,培養(yǎng)能力、發(fā)展智力才會(huì)有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn):

1.趙國(guó)防.有效教學(xué)和諧課堂――小學(xué)數(shù)學(xué).光明日?qǐng)?bào)出版社,2008

2.王巍,張玉艷.有效備課――小學(xué)數(shù)學(xué).光明日?qǐng)?bào)出版社,2008

3.趙國(guó)防.有效上課――問題 探究 對(duì)策.光明日?qǐng)?bào)出版社,2009

4.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論.湖南第一師范學(xué)院網(wǎng)

篇8

一、數(shù)和量

凡是可以測(cè)量、計(jì)數(shù)、計(jì)算的東西，都叫量。例如：一張桌子好看不好看，實(shí)用不實(shí)用，是不能量，不能數(shù)，也不能算出來的。但是桌子的長(zhǎng)短和高低，是可以測(cè)量的。這是我們就說：美觀、實(shí)用不是量而長(zhǎng)短和高底是量。同一類的量是可以比較的。為了準(zhǔn)確的比較，我們就從同類的量中，取定一個(gè)度量單位，來度量其他的量的大小，度量的結(jié)果就得到數(shù)。量和數(shù)的區(qū)別還在于對(duì)于同一個(gè)量，用不同的度量單位來度量時(shí)，可以得到不同的數(shù)。例如一張長(zhǎng)90cm的桌子，用米兩度量是0.9m，用毫米來度量則是900mm.所以我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題時(shí)，必須注明單位才算完整。

0和沒有

無在數(shù)量上可以用0來表示，這源于數(shù)物體個(gè)數(shù)的的過程，自然數(shù)是“有”的符號(hào)，它是對(duì)數(shù)量的肯定；而在實(shí)踐中我們也經(jīng)常會(huì)遇到一個(gè)物體也沒有的情況，這是就用“0”來表示“沒有”，是對(duì)數(shù)量的否定。長(zhǎng)久以來，人們經(jīng)常用0來表示“沒有”，于是就誤以為0只能用來表示沒有。其實(shí)這只是0的意義的一個(gè)方面，0還有豐富的內(nèi)容：

1、0是一個(gè)獨(dú)立的數(shù)字，它是整數(shù)，但不是自然數(shù)，它是唯一一個(gè)非負(fù)、非正的中性數(shù)。它小于一

切正數(shù)，大于一切負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。在數(shù)軸上原點(diǎn)“0”比任何正負(fù)數(shù)的點(diǎn)都更為重要，它對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一點(diǎn)，便決定了其他各點(diǎn)的位置。

2、溫度是0℃表示一個(gè)特定的溫度，不能說沒有溫度。它表示了水的冰點(diǎn)這樣一個(gè)確定的量，就是在

一個(gè)大氣壓下，水在這個(gè)溫度開始結(jié)冰。

3、在近似計(jì)算中，0的作用也很重要。比如1.8和1.80的含義就不同：1.8表示精確到0.1位，而

1.80則是精確到0.01位，因而不能把1.80后面的0理解為可有可無，隨意化去。

4、0的了不起還在于：它在參與計(jì)算時(shí)，任何一個(gè)數(shù)與0相加仍得0；任何數(shù)減0，它的值不變；任

何數(shù)與0相乘，積得0；0除以一個(gè)非0的數(shù)，商等于0；此外，0是一個(gè)偶數(shù)，是任意自然數(shù)的倍數(shù)，0不能做除數(shù)，因?yàn)樗鞒龜?shù)是無意義的或者說得不到確定的商；0的相反數(shù)是0，0的絕對(duì)值是0等隨著我們知識(shí)的擴(kuò)充，對(duì)“0的認(rèn)識(shí)也將更加全面?！表槺阏f明一點(diǎn)：在足球比賽時(shí)記分牌上出現(xiàn)的3：0等等，同學(xué)們一定覺得很奇怪，后項(xiàng)是零的比，分母是零的分?jǐn)?shù)，除數(shù)是零的算式都是無意義的，其實(shí)它們只是借用數(shù)學(xué)符號(hào)的寫法，并列起來加以比較的意思，與數(shù)學(xué)無關(guān)。記分牌上出現(xiàn)的3：0是表示一方得3分，另一方?jīng)]得分，兩者之間相差3分。再如記分牌上8：2則表示一方得8分，另一方得2分.兩者之間相差6分。記分牌上的“幾比幾”不是數(shù)學(xué)中“比的含義，兩者不是倍數(shù)關(guān)系?！比绻延浄峙粕系?：2按數(shù)學(xué)中“比” 的含義化簡(jiǎn)為“4：1”，比賽雙方原來比分相差6分，現(xiàn)在相差3分，贏的一方能同意嗎？ 正負(fù)號(hào)與加減號(hào)

符號(hào)是中學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別之所在，學(xué)生計(jì)算時(shí)最容易出錯(cuò)。“+”和“-”在表示數(shù)的性質(zhì)時(shí)叫做正號(hào)與負(fù)號(hào)，而在表示數(shù)的運(yùn)算時(shí)則叫做加號(hào)與減號(hào)。舉個(gè)例子來說明：（-11）-（-7）+（-9）-（-6）在這個(gè)式子中在11，7，9，6前面的（+）和（-），是表示數(shù)的性質(zhì)的，叫性質(zhì)符號(hào)，又叫正負(fù)號(hào)。在括號(hào)之間的“+”和“-”號(hào)，是表示數(shù)的運(yùn)算方法的，叫運(yùn)算符號(hào)，分別叫加號(hào)和減號(hào)。根據(jù)減法法則可以統(tǒng)一成加法運(yùn)算：（-11）+（+7）+（-9）+（+6）.這時(shí)省略所有的加號(hào)可得：-11+7-9+6，此時(shí)除第一個(gè)數(shù)是性質(zhì)符號(hào)外，都轉(zhuǎn)化為運(yùn)算符號(hào)，這種寫法叫代數(shù)和，讀作“負(fù)11，加7，減9，加6，或讀作負(fù)11、+7、-9、+6的和。這個(gè)例子說明，在一定的條件下，性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)化的。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一定注意他們的區(qū)別與聯(lián)系。

乘方和冪

在數(shù)學(xué)課上，老師有時(shí)把a(bǔ)n讀作“a的n次方”；有時(shí)讀作“a的n次冪”。學(xué)生就會(huì)搞不明白，為什么同一個(gè)符號(hào)an會(huì)有兩種不同的讀法？

這是因?yàn)槌朔胶蛢缂仁莾蓚€(gè)不同的概念，又是兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的概念。乘方是求相同的因數(shù)的積的運(yùn)算，是乘法的一種特殊的運(yùn)算，從運(yùn)算來考慮，可以把a(bǔ)n讀作“a的n次方”；而冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果，那就只能讀作“a的n次方”。這就好像我們學(xué)過的加法、減法、乘法、除法等運(yùn)算，每一種運(yùn)算結(jié)果都有一個(gè)專門的名稱。加法運(yùn)算的結(jié)果叫做和，減法運(yùn)算的結(jié)果叫做差，乘法運(yùn)算的結(jié)果叫做積，除法運(yùn)算的結(jié)果叫做商一樣，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫做冪。

篇9

讓我們來做一個(gè)游戲，這個(gè)游戲曾在中央電視臺(tái)演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放，從教室擺到操場(chǎng)，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國(guó)……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個(gè)游戲有兩個(gè)條件：第一，要推倒第一塊磚；第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放。顯然，這兩個(gè)條件缺一不可。如果缺少第一個(gè)條件，就會(huì)有磚沒有被推倒(至少第一塊磚沒有推倒)。如果缺少第二個(gè)條件，“碰倒過程”就會(huì)中斷，就會(huì)有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發(fā)我們得出一個(gè)處理與自然數(shù)有關(guān)問題的方法：(1)

處理第一個(gè)問題(相當(dāng)于推倒第一塊磚)；(2)驗(yàn)證前一號(hào)問題與后一號(hào)問題有傳遞關(guān)系(相關(guān)于前磚碰倒后磚)，這時(shí)主角亮相了。數(shù)學(xué)歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數(shù)學(xué)歸納法之后，師生共同參與，按以下設(shè)問進(jìn)行教學(xué)：

1．第一步驟是遞推的基礎(chǔ)，第二步驟是遞推的依據(jù)。若二者缺一將會(huì)出現(xiàn)什么問題呢?能舉出實(shí)例來嗎?

2．完成第一步驟后，在第二步驟中，假設(shè)n=k時(shí)的結(jié)論正確，這樣的k值是否存在呢?證明N=K+1時(shí)結(jié)論也正確，是否起著“傳遞性”的作用?

3．第二步驟中，如果不使用N=K時(shí)結(jié)論正確這個(gè)條件，直接證明N=K+1時(shí)結(jié)論正確，是否還是數(shù)學(xué)歸納法呢?或者說比數(shù)學(xué)歸納法更好呢?

4．第一步驟中，證明N取第一個(gè)值結(jié)論正確，這第一個(gè)值從哪里取起呢?

5．第二步驟中，在使用N=K時(shí)結(jié)論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時(shí)結(jié)論正確這一關(guān)呢?(如：演繹法、分析法、反證法等)。

6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是針對(duì)n∈N而言的．那么N取非自然數(shù)時(shí)，是否也可以呢?

針對(duì)學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)的問題：錯(cuò)誤理解、認(rèn)識(shí)膚淺、似是而非、掌握不牢等現(xiàn)象，教師要精心創(chuàng)設(shè)情景，優(yōu)化教學(xué)手段，以達(dá)到對(duì)概念的理解、認(rèn)識(shí)到位，對(duì)概念的掌握準(zhǔn)確、牢固、靈活之目的。同時(shí)，行之有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性和深刻性。

篇10

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)過程；概念本質(zhì)

1.數(shù)學(xué)概念概述

1.1數(shù)學(xué)概念及分類

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系、空間形式概括的反映，是建立數(shù)學(xué)定理、公式、準(zhǔn)則的基礎(chǔ)，也是證明、運(yùn)算、判斷、推理的前提。通常情況下，數(shù)學(xué)概念源于兩個(gè)方面：首先是客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系直接的抽象，其次是基于原有數(shù)學(xué)理論展開的邏輯建構(gòu)。因此，數(shù)學(xué)概念可以被劃分為兩大類：一是現(xiàn)實(shí)關(guān)系或者對(duì)象直接抽象得到的數(shù)學(xué)概念，與現(xiàn)實(shí)有著緊密的聯(lián)系，使得人們經(jīng)常將其與現(xiàn)實(shí)原型相混淆，例如角、平行、三角形、四邊形等等，二類是純數(shù)學(xué)抽象概念，為抽象邏輯思維產(chǎn)物，并未有客觀實(shí)物與之相對(duì)應(yīng)，例如函數(shù)、方程、向量?jī)?nèi)積等等，這類數(shù)學(xué)概念對(duì)于數(shù)學(xué)理論建構(gòu)和數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提升有著重要的作用。

1.2數(shù)學(xué)概念特點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念有著相對(duì)獨(dú)立性。概念反映為對(duì)象、關(guān)系本質(zhì)屬性，就是研究對(duì)象固有。內(nèi)在的屬性。數(shù)學(xué)對(duì)象為客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，在某種程度上來講，原始對(duì)象的具體內(nèi)容有著相對(duì)獨(dú)立性。此外，數(shù)學(xué)概念既可以產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)世界具體事務(wù)的抽象，還可以產(chǎn)生思維結(jié)果。數(shù)學(xué)概念有著抽象性和具體性。數(shù)學(xué)概念為一類對(duì)象本質(zhì)的屬性，因此其就是抽象的，例如圓概念，客觀世界并為存在抽象的圓，是具體的圓。因此數(shù)學(xué)概念就脫離客觀世界。因?yàn)閿?shù)學(xué)中使用符號(hào)化、形式化的語言，知識(shí)數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)的距離更遠(yuǎn)，即抽象化程度更高。但是，高層次數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容是低層次概念，而且數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)命題的基礎(chǔ)，概念為一個(gè)實(shí)在的物質(zhì)，即數(shù)學(xué)概念具備具體性一面。數(shù)學(xué)概念具備邏輯聯(lián)系性。數(shù)學(xué)中多數(shù)概念均是在原有概念基礎(chǔ)上得到的，并且通過邏輯定義法，通過語言符號(hào)加以固定，在數(shù)學(xué)中，多個(gè)概念形成結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍钕到y(tǒng)，成為數(shù)學(xué)分支的基本結(jié)構(gòu)，概念間的邏輯關(guān)系清楚的顯現(xiàn)出來。

2.數(shù)學(xué)概念教學(xué)課堂現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提，教師怎樣開展概念教學(xué)對(duì)于教學(xué)質(zhì)量的提高時(shí)極為重要的，經(jīng)過相關(guān)資料的查閱可知數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在以下問題：

2.1教學(xué)方法失當(dāng)

一定定義，多個(gè)注意，教師教學(xué)目的是想把概念迅速講授給學(xué)生，因此就簡(jiǎn)單的從字面含義提煉概念，提醒學(xué)生注意其首要任務(wù)是抓緊練習(xí)，這種課堂形式以教師為主體，學(xué)生處于被動(dòng)地位，學(xué)生缺乏生成概念的過程，學(xué)生并不知道概念是怎樣導(dǎo)出的，僅僅學(xué)習(xí)的概念的表面，做題環(huán)境也僅僅是簡(jiǎn)單的引用概念，題型稍有改動(dòng)學(xué)生就不能很好的解答。結(jié)果就是教師埋怨學(xué)生、學(xué)生也會(huì)失去信心，這種弊端的原因不在學(xué)生、更不在教師，是概念教學(xué)的失敗。例如九年級(jí)新人教版三角函數(shù)這一章節(jié)，教師僅僅告知學(xué)生角的正弦是直角三角形的對(duì)比比斜邊，余弦、正切的講授也遵循此類方法，之后就進(jìn)入練習(xí)。三角函數(shù)是在動(dòng)態(tài)條件下產(chǎn)生的，有些教師并未向?qū)W生講述三角函數(shù)生成的過程，教師僅僅講述基本內(nèi)容，學(xué)生還未建立邏輯思維，僅僅是單純的強(qiáng)化記憶。

2.2不重視數(shù)學(xué)概念的生成

數(shù)學(xué)概念的生成需要一定時(shí)間，概念的生成發(fā)展對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生重大的影響，新課改背景下大多數(shù)教師意識(shí)到這一點(diǎn)，但是并未在原來教學(xué)模式上加以改進(jìn)、創(chuàng)新。例如，平面直角坐標(biāo)系這一章節(jié)，坐標(biāo)系的生成既需要講述相關(guān)概念內(nèi)容，還需要使得學(xué)生知道誰發(fā)現(xiàn)的、從哪里來、有著怎樣的應(yīng)用。這些都是概念教學(xué)的重點(diǎn)，但是在實(shí)際教學(xué)過程中，多數(shù)教師對(duì)此缺乏關(guān)注，讓學(xué)生盲目的做題。

3.數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)施概念教學(xué)的策略

明確概念教學(xué)的重要作用和現(xiàn)階段數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的問題，怎樣開展概念教學(xué)，是廣大數(shù)學(xué)教師所重視的。

3.1借助觀察，生成概念

多媒體圖片、教學(xué)模型、生活中物品等等均可以幫助師生更好的認(rèn)知、理解數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念的掌握需要反復(fù)的觀察和實(shí)驗(yàn)，還需要由表向里的深化。憑借概念背景分解抽象的數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而達(dá)到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo)。例如“軸對(duì)稱圖形”這一章節(jié)，學(xué)生可能對(duì)于生活中的軸對(duì)稱圖形有著一定的了解，但是并未理解軸對(duì)稱圖形形成的過程，這個(gè)形成的過程就是直接觀察到數(shù)學(xué)概念形成掌握的階段，軸對(duì)稱圖形的共同特點(diǎn)學(xué)生可能并未進(jìn)行思考，學(xué)生只有通過圖片、實(shí)物的觀察，才可以更好的總結(jié)其共同特點(diǎn)，才可以對(duì)著軸對(duì)稱圖形有著更加深入的認(rèn)識(shí)。這樣的概念教學(xué)是生動(dòng)形象的，學(xué)生也可以對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)有著更加高效的理解。

3.2注重客觀與主觀性

在概念引入過程中，學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，對(duì)于數(shù)學(xué)有著自身的看法，后期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是在原有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上開展的；還可能帶有原有特定行為傾向進(jìn)行學(xué)習(xí)、傾向于處理含有圖形的問題和信息。所以，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況有深入的了解是概念教學(xué)的開始，對(duì)學(xué)生情況有深入的了解教師可以更有針對(duì)性的開展數(shù)學(xué)教學(xué)。此外在數(shù)學(xué)概念形成和同化過程要關(guān)注其統(tǒng)一性和抽象性，概念形成就是抽象某些事物、對(duì)象共同特點(diǎn)的過程，概念同化實(shí)質(zhì)就是通過演繹方法獲取概念的過程，因此需要注重及時(shí)應(yīng)用實(shí)例，使得概念得到具體實(shí)例的支持。

3.3注重探討和匯總

大多數(shù)教師均轉(zhuǎn)變了教學(xué)理念，在教學(xué)設(shè)計(jì)階段，關(guān)注概念生成，為學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)，使得學(xué)生更好的參與概念生成的過程。但是某些教師在數(shù)學(xué)課堂上，雖然注重概念的生成，為學(xué)生留下探究的時(shí)間和空間，但是缺乏完整性，即在探究過程中并未及時(shí)的匯總。歸納匯總是學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念在認(rèn)識(shí)的重要過程，也是知識(shí)提煉和升華的過程。例如二次函數(shù)這一章節(jié)，教材之中給了較多與學(xué)生生活相貼近的例子，通過實(shí)際的例子，列出很多關(guān)系式，但是教師并未讓學(xué)生去分析關(guān)系式的共同特點(diǎn)，而是下結(jié)論，這種概念生成過程就被淡化，自然而然收不到良好的教學(xué)效果。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師不僅需要為學(xué)生概念探討創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，還要為概念歸納匯總留下一定時(shí)間和空間。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊成蒙.探究數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)生思維的培養(yǎng)[J].考試周刊，2014（10）：53.DOI